Ecuaciones 2°

 Ecuaciones de segundo grado.

La ecuación cuadrática es una proposición que se construye a partir del enunciado de un problema de la vida cotidiana o al enunciar un problema científico.

Definición:

·        

La ecuación cuadrática con una incógnita es una proposición de igualdad que se expresa como: ax2 + bx + c = 0          (a ≠ 0)

 

La expresión anterior se conoce como la forma general de la ecuación de segundo grado con una incógnita. Sus componentes se identifican de la siguiente manera:

·          x   Representa la incógnita o variable.

·          a   Es el coeficiente del termino cuadrático.

·          b   Es el coeficiente del termino lineal.

·          c   Es el termino independiente.

A continuación algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas.

a)    3x² – 2x + 5 = 0

b)    5u² – 3u + 1 = 0

c)    2(x+3)(x – 5) = 7x – 2

d)    x² = 1

e)    3y² – 5y = 0

Es posible que una ecuación cuadrática se exprese diferente a la forma general, como c) y d), y que incluso deban realizarse operaciones previas para identificarla como tal, como en c).

EJEMPLO:

Resuelva la ecuación: 2x2 – 32 = 0 Solución: Despejando x2  se obtiene:         x2 = 32/2            x2 = 16 Entonces  x= +    16            x= +  4 x1 = 4         x2 = -4 Comprobación: Sustituir x por los valores ya obtenidos. 2(4)2 – 32 = 0                                                   2(-4)2 – 32 = 0 Elevar el cuatro (en este caso) al                    Elevar el -4 y su signo, en este cuadrado.                                                   caso como es -4 con -4 el resultado 2(16) – 32 = 0                                            será positivo, ya que negativo con Eliminar los paréntesis.                              negativo da positivo. 32 – 32 =0                                                  2(16) – 32 = 0 0 = 0                                                           32 – 32 = 0                                                                    0 = 0

 

Trasladando y ordenando los términos se puede escribir en la siguiente forma cualquier ecuación de segundo grado:

ax² + bx + c = 0                         a no es igual a 0

Si se resuelve una ecuación completando un cuadrado, se obtiene una formula útil y eficaz para la resolución de cualquier ecuación de segundo grado.

Una ecuación del tipo ax² + bx + c = 0, en la cual a, b y c son constantes y a no es igual a 0, se llama ecuación de segundo grado. Las ecuaciones de segundo grado en las que aparece la primera y la segunda potencias de la incógnita se llaman ecuaciones completas de segundo grado de segundo grado, mientras que las que solo contienen la segunda potencia de la incógnita se llaman ecuaciones simples de segundo grado.

Un problema se puede resolver mediante una ecuación comprende varias cantidades de las cuales unas son conocidas y otras desconocidas. Igualmente contiene datos que permiten observar la igualdad entre dos combinaciones de esas cantidades. Si el problema se puede resolver mediante una ecuación de una variable, entonces  las cantidades desconocidas deben expresarse  en términos de una sola letra

El cuadrado del binomio x + y es x² + 2xy + y². Si y se reemplazara por la constante a, se obtiene (x + a)² = x² + 2ax + a², la cual es una forma importante del trinomio cuadrático general. En el trinomio observamos que el primer término es x, que el segundo término contiene la primera potencia de x y que el último término es positivo e igual al cuadrado de la mitad del coeficiente de x. Dado un trinomio como éste, puede factorizársele fácilmente.

El principio anterior da lugar a un método altamente eficaz para la resolución de ecuaciones de segundo grado o de grado mayor.

El empleo de la factorización para resolver ecuaciones de segundo grado depende del principio siguiente:

·         El producto de dos o más factores es “cero” si cualquiera de los factores es “cero”.

El principio anterior da lugar a un método altamente eficaz para la resolución de ecuaciones de segundo grado o de grado superior. Sin embargo, no puede emplearse a menos que la ecuación sea equivalente al otro en la cual el miembro de la izquierda sea el producto de dos o más factores y el de la derecha sea “cero”.

 Como recomendación encontramos Symbolab, en este caso no es una aplicación; es una página gratuita que podemos encontrar muy fácilmente y aun más fácil el resolver ecuaciones con ella , puesto que, nos brinda una barra de opciones muy amplia y también nos muestra el procedimiento, sin dejar de lado las gráficas. 

Dejamos el link para que pueda interactuar con ella: https://es.symbolab.com/solver/quadratic-equation-calculator/x%5E2-x-6%3D9?or=ex

Parte corregida

Definición: Las ecuaciones de segundo grado son de la forma    ax²+ bx + c = 0 , siendo a, b y c números reales (siendo a distinto de cero), donde x recibe el nombre de variable o incógnita, a y b se llaman coeficientes de las incógnitas y c recibe el nombre de término independiente.

Resolución: La siguiente expresión o fórmula, nos permite hallar las raíces o soluciones de la ecuación de segundo grado. 

    Para ello, basta con identificar los coeficientes a, b y c de la ecuación , sustituir sus valores en  dicha fórmula y hacer las operaciones indicadas.

    A continuación, veamos cómo se obtiene dicha fórmula en 7 pasos:

Sea la ecuación de segundo grado  ax2+bx+c=0. 1º, asilamos el término independiente                     ax2+bx = - c 2º, multiplicamos ambos miembros por 4a:            4a2x2+4abx = - 4ac 3º, sumamos b2 en ambos miembros:                      4a2x2+4abx + b2 = - 4ac + b2 4º, considerando las identidades notables               (2ax+b)2 = - 4ac + b2  5º, extraemos la raíz cuadrada                                  6º, pasamos b al segundo miembro                           7º, despejamos x